n很大时n的阶乘如何计算?斯特灵公式帮你解决一切

)是一条用来取n阶乘近似值的数学公式。一般来说,当n很大的时候,n阶乘的计算量十分大,所以斯特灵公式十分好用;而且,即使在n很小的时候,斯特灵公式的取值已经十分准确。

这个公式,以及误差的估计,可以推导如下。首先不直接估计n!,而是考虑它的自然对数:即:

其中Bk是伯努利数,Rm,n是欧拉-麦克劳林公式中的余项。取极限,可得:

两边取指数,并选择任何正整数m,便得到了一个含有未知数e^y的公式。当m=1时,公式为:

将上述表达式代入沃利斯乘积公式,并令n趋于无穷,便可以得出e^y=√2π,因此,我们便得出斯特灵公式:

这个公式也可以反复使用分部积分法来得出,首项可以通过最速下降法得到。把以下的和

用积分近似代替,可以得出不含√2πn的因子的斯特灵公式(这个因子通常在实际应用中无关):

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