统计物理中的一道百年小谜题及其破解

新理论不仅能给出实验已经确立的结果,还能预言新的结果,而这一结果在物理上之合理之巧妙,只能归结于大自然的安排。

物理难题和数学难题有一个很大的不同,世纪“高龄”的数学难题屡见不鲜,例如,费马大定理从提出到证明相隔了358年;哥德巴赫猜想已经280年。有趣的是,数学的难题,每解决一个就相当于杀掉了下金蛋的鹅。物理学中也有百年难题,每解决一次就相当于发现了一只下金蛋的鹅。这些问题小到冰面为什么打滑,大到宇宙的结构及其演化;复杂如气候变迁,具体如飞鸽回巢,等等。本文的有限尺寸效应难题,写在物理教材里,历史上不断有研究论文发表,是一个介乎数学和物理之间的小难题。

在所有的统计分布中,求最概然的一个,是统计学的入门知识。不过,统计学关心大量的样本。稀罕的事例,不在统计学的范畴内。统计物理也求最概然分布,但是,一个系统常常会和热库、粒子库接触,系统中就可能只有一个粒子。换言之,在统计物理中,即使出现一个粒子,也会出现分布。单原子热机是近些年的一个研究热点,处理的就是只有一个粒子的统计分布。通常的热力学处理的是大量粒子的系统,数学上处理为无限多个粒子,同时系统体积也要取为无限大,而粒子数的密度不变,就是所谓的热力学极限。在热力学极限的另外一极,就是小系统,或者少粒子系统,或者有限尺寸系统。这里会出现的新效应,可以称之为有限尺寸效应,或者少粒子效应。

但是,超过一个半世纪的时间里,数以十万计的统计物理的学者们,求最概然分布,一直被如下问题所困扰:相关理论的适用性要求粒子数很大,只有满足这一条件才能借助成熟的数学工具给出统计分布。当然,当粒子数很大的时候,这些结果也都是正确的,受到了实验的严格检验。那么,当粒子数很少的时候,有无分布? 分布的形式如何?数学上,这一问题归结于如何处理一个变量x连乘积x!的对数lnx!及其微积分,其中变量x可以理解为粒子数,x=0,1,2,…。例如x在1和10之间,就是所谓的少粒子系统。

在统计物理中,常常使用lnx!的如下斯特林公式,lnx!≈xlnx-x。这一公式在x的取值非常大的时候,精度非常之高。但当x较小的时候,例如x在1和10之间取值时,这个公式的精度非常差。但是,在物理上,只能这样取,多一项少一项都不行!关键的原因在于,惟其如此,才能保证一个热力学系统的熵的广延性。如果利用更为精确的近似,必然破坏广延性。换言之,精确的斯特林公式,给出的最后的结果如果是正确的,应该是所谓的少粒子效应或者有限尺寸效应,不过大概率是错误的。

当x为粒子个数的时候,lnx!是天生的离散函数。使用近似公式lnx!≈xlnx-x的一个重要目的在于把lnx!变成连续函数进行微积分运算。但是,当x较小的时候,把lnx!处理为连续函数的精度非常差,只能处理为离散函数,这个时候,lnx!的微分dlnx!应该用差分Δlnx!来代替。可是差分Δlnx!的定义非常多,例如,前一步差分Δlnx!= ln(x+1)!- lnx!=ln(x+1), 后一步差分Δlnx!= ln(x)!- ln(x-1)!=ln(x),前两步差分,后两步差分,…,中心差分,偏心差分,…等等。定义如此之多,给出的物理结果互不相同,选择其中的任意一个相当于引进了新的假设,即使这样,给出的结果大概率也是靠不住的。

因此,统计物理出现lnx!的时候,在两个地方需要进行严格的处理,一个是lnx!精确的表达式,第二是严格的离散微积分。

寻求函数lnx!的斯特林公式精确表达,物理学家玩不过数学家。把数学家发现的结果搬运过来就是。所以,问题不在是否使用精确的斯特林公式。问题必然出现在函数差分上。经过了很多次探索和失败之后,我们终于发现有一条狭窄但是巧妙的解决这一问题的途径[1],而且根本不需要用到斯特林公式。

统计物理中求最概然分布,可以理解为一个求变分的过程,走在正确的道路上,一定会碰到一些 “妖魔鬼怪”。下面通过一个简单的例子来说明。

因此,后差解更加稳定。给一个合理的说法,来自数学或者物理都行,只要能挑出后差解就行了。

极少数研究人员会走到这里,然后通过一个新的物理原则,把最稳定的解作为真实的解,把不真实的解剔除。

经过一点运算,新理论给出的结果分为三部分。第一部分,粒子数很大的时候,结果完全回复到传统的结果。这部分结果经受了实验的反复检验,如果新理论不能给出相同的结果,理论肯定错了。第二部分,如果系统内只有两个粒子,例如玻色子或者费米子,原来的分布继续有效。这一点,似乎传统统计物理中的巨正则分布提示过这个结果。但是,提示不等于确立。巨正则分布给出的结果,是否适合于只有一两个粒子的系统,统计物理本身给不出判断。第三部分,如果系统内只有一个粒子,新理论认为,粒子的量子性突然消失,所有的粒子都遵守同样的统计,即玻尔兹曼统计。这一个结果,是理论首先给出了结果,后来才理解。关于这一点,不妨多说几句。

两个粒子是费米子或者玻色子,量子力学认为是系统状态满足交换对称性的一种后果;而量子场论认为,自旋和统计之间有简单的一一对应的关系。根据新的理论,如果系统中原本有两个玻色子,满足玻色分布。突然取走其中的一个,问,剩下的一个还是玻色子吗? 量子力学认为,由于这个玻色子不能和其它粒子进行交换,再说这个粒子是玻色子或者不是,已经失去意义。就在这里,新理论进一步预言,这个粒子应该满足玻尔兹曼统计。这个结果一度使我非常焦虑,后来突然理解了,这才是大自然的巧妙且必然的安排。只有一个粒子的时候,整个系统可以作为定域区域,这个粒子就是定域粒子,当然只能满足玻尔兹曼统计。因此,新理论预言,随着粒子从两个变为一个,出现两个统计之间的跃变,这个时候一定会出现新的热量交换。因此,文章[1]进行了如下畅想:新理论能提供实验可以检验的结果。

很明显,这里涉及的有限尺寸效应问题之所以困难,是因为没有恰当的数学工具。我是被物理感觉所指引,觉得大概应该有一个什么长相的物理结果,然后倒逼数学,发现只有引入异步差分才能解决问题。也许,在数学上有人在其它领域提出过异步差分的思想,但是从来没有引进到物理学中来。

异步差分似乎突破了数学的陈规,却依然在数学的框架内。异步差分就在我们身边,距离只有一层薄纸。新理论不仅能给出实验已经确立的结果,还能预言新的结果,而这一结果在物理上之合理之巧妙,只能归结于大自然的安排。

一辈子写文章,很多文章写着写着就忘记了。投稿之后,也不知道投到了哪个刊物。甚至有篇不错的文章,因为一审已经通过但是没有能及时回复而被退稿了。这篇文章[1]不同,是我二十余年讲授“热力学与统计物理”课程的之后给自己的一个交代,也是2020年6月份起,华盛顿大学钱纮教授召集国际纳米热力学研讨会 (International Seminar Nanothermodynamica series) 以来,我下决心要交付的一篇作业。文章在“五·四”青年节正式刊行,正值纳米热力学研讨会两周年之际,祝愿研讨会常研常青。物理学年刊 (Annals of Physics) 的编辑迫不及待发表这篇文章,也说明这篇论文有所原创。但是,之前不断的拒稿,弄得我有点气急败坏,不但把论文的第一句改写成一句广告:“本文旨在解决统计物理中一个历史很长的基础性难题”,还迫不及待地到2020-2021年中国物理学秋季年会上做了一场报告进行推广。论文接收后,居然还有点不敢相信;校完样,还特地买了一盆花来纪念下自己;文章发表了,还要写这篇文章来吹嘘一下。

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